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    [一组椭圆离心率问题的探究]木工椭圆最精确的画法

    时间：2019-03-23 02:31:56 来源：有好资料网 本文已影响人 有好资料网手机站

    相关热词搜索：椭圆 离心 探究

    　　求椭圆离心率的取值范围,是解析几何中的一类典型问题,这类问题涉及多个知识点,综合性和技巧性强,方法灵活多样,同学们一定要认真审题，善于从不同的知识视角进行审视，使不同的知识在相同的背景下得以迁移和应用。
    　　
    　　
    　　一、 问题的探究�
    　　
    　　有这样两道题目请大家欣赏：�
    　　【例1】 已知P是椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0)上一点，F�1,F�2是椭圆的左右焦点.若∠PF�1F�2=60�°�,∠PF�2F�1=30�°�，则椭圆的离心率是 .�
    　　分析 当研究椭圆上的点与两焦点组成的三角形问题时，常用椭圆定义及正余弦定理。�
    　　
    　　点拨 解法一属于通解通法，解法二精妙简单。�
    　　【例2】 已知F�1,F�2是椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0)的左右焦点.若椭圆上存在一点P，使得∠F�1PF�2=90�°�，则椭圆离心率的取值范围是� � .�
    　　分析 例2与例1表面上好像是一样的，但实际上有很大区别。例1中的∠PF�1F�2=60�°�,
    　　∠PF�2F�1=30�°�，其实点P已经确定，或者确切的说△PF�1F�2的形状已经确定，因此椭圆离心率是个固
    　　�
    　　点拨 此种解法主要利用椭圆的有界性来建立起参数a,b,c中的不等关系，从而达到求解离心率范围的目的。对学生的计算推理能力要求较高。�
    　　解法二 由焦半径公式得|PF�1|=a+ex,�|PF�2|=�a－ex，�
    　　点拨 解法三无论在计算上还是在思维上都有优势。希望同学们能从不同的角度来分析问题从而感悟数学的奥妙――数学因探索而美丽!�
    　　解法四 由点P是椭圆上的点，则PF�1+PF�2=2a， ①�
    　　又△PF�1F�2为直角三角形，且∠F�1PF�2=90�°�，则PF�2��1�+PF�2��2�=4c�2. ②�
    　　联立得PF�1+PF�2=2a,�PF�1•PF�2=2b�2.因此PF�1,PF�2是关于x的方程x�2－2ax+2b�2=0的两根，则Δ=(－2a)�2－4×2b�2≥0
    　　�ba�2≤12，而e=1－ba�2∈22,1.�
    　　点拨 解法四利用的是方程有实根，判别式必须要为非负的思想，计算简洁明了，但对思维的要求较高。�
    　　解法五 由椭圆的定义，有2a=|PF�1|+�|PF�2|�,平方后可得�
    　　4a�2=|PF��1�|�2+|PF��2�|�2+2|PF��1�|•|PF��2�|≤2(|PF��1�|�2+|PF��2�|�2)=2|F��1�F��2�|�2=8c�2，�
    　　得c�2a�2≥12，所以e∈22,1.�
    　　点拨 由于|PF�1|，|PF�2|和为定值，所以�|PF�1|�，|PF�2|积有最大值，由此可构造不等式。�
    　　解法六 由题意知点P在以F�1F�2为直径的圆上，所以此圆与椭圆必有交点，故c≥b，c�2≥�a�2－�c�2，∴e∈22,1.�
    　　点拨 解法六利用的是数形结合的思想，需要同学们对数与形的思想能够灵活掌握。�
    　　
    　　二、 问题的推广�
    　　
    　　在问题（2）中，若问当“∠F�1PF�2=120�°�时，结论又如何呢？”对于这个问题的解答，可仿照上述几种解法进行求解。笔者在教学的过程中，又提出了当“∠F�1PF�2=θ，(0�°�b>0)上一点，图2
    　　
    　　�
    　　解法七 若椭圆上存在一点P,使∠F�1PF�2=90�°�，则∠F�1PF�2可能取到的最大值必然大于等于90�°�，即∠OBF�2≥45�°�，易得ca≥22，∴e∈22,1.��
    　　
    　　牛刀小试�
    　　1. 已知焦点在x轴上的椭圆x�24+y�2b�2=1（b>0），F�1,F�2是它的左右焦点，若椭圆上存在一点P使�PF�1�•�PF�2�=0,则b的取值范围是� � .�
    　　2. 已知F�1,F�2是椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0)的左右焦点.若椭圆上存在一点P，使得∠F�1PF�2=120�°�，则椭圆离心率的范围是� � .�
    　　3. 椭圆x�29+y�24=1的焦点为F�1,F�2，点P为其上动点，当∠F�1PF�2为钝角时，点P横坐标的范围是 .�
    　　4. 设F�1,F�2是椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0)的两个焦点，P是以|F�1F�2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF�1F�2=5∠PF�2F�1，则该椭圆的离心率为 .�
    　　5. 设椭圆x�2a�2+y�2b�2=1（a>b>0）的两焦点为F�1、F�2，长轴两端点为A、B，若椭圆上存在一点Q，使∠AQB=120�°�,则该椭圆的离心率为� � .�
    　　【参考答案】�
    　　1. (0,2］ 2. 32，1 3. -355

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